Estabilidad y controlabilidad
Se define estabilidad como una cualidad de los sistemas dinámicos. Este concepto lo podemos observar habitualmente cuando andamos en bicicleta, el vuelo de un avión.Estabilidad de Lyapunov
Es la estabilidad de la solución de una ecuación diferencial con un estado inicial dado. Pongamos un ejemplo. Dada la ecuación diferencial:
donde las condiciones iniciales son:
si cambiamos las condiciones iniciales, es decir, cambiar el X0, graficamente quedaría:
Suponiendo que el punto X0 es el origen, este es estable para la ecuación diferencial. La estabilidad de Lyapunov quiere decir que el origen es estable si para cada
es decir, la solución que empieza cerca, se queda cerca. Esto lo podemos observar mejor graficamente:
Para todos los puntos dentro de la "la bola de color rojo", la solución estará dentro de E.
El segundo concepto de Lyapunov dice que el origen es "estable asintoticamente" cuando la solución tiende a 0. El tercer concepto afirma que la solución es "estable exponencialmente" cuando se acerca a 0 más rápido. La deferencia entre ambas es que la estable asintóticamente puede tardar "siglos" en llegar a 0.
Metodos de Lyapunov
Estos métodos nos sirven para saber si un sistema es estable o inestable.
- Primer método de Lyapunov. Nos viene a decir que dada una función x`(t)=f(x(t)), sustituyendo por f(x). Si el sistema lineal resultante es estable (lim=0), también lo es el sistema original. La definición de Lyapunov es:
- Segundo método de Lyapunov: Este método es más general, pero no es fácil encontrar la solución. Este método nos dice que si suponemos el punto de equilibrio del sistema en x=0, si existe una función de Lyapunov que sea mayor igual que 0, y que su derivada sea menor igual que 0, siempre y cuando x=0, el sistema es asintoticamente estable.
Estabilidad de sistema lineales
La estabilidad de todos los sistemas lineales se puede estudiar con el siguiente teorema: Sea el sistema x´(t)=Ax(t).- Si todos los autovalores (valores propios) de A tienen parte real negativa, toda solución es estable.
- Si algún autovalor de A tiene parte real positiva, cualquier solución es inestable.
- Si algunos de los autovalores de A tienen parte real negativa y el resto parte real 0, serán
en los demás casos serán inestables. Analicemos el siguiente ejemplo: si kj es 3, entonces tenemos repetidas "ro" tres veces. En el caso de que estén repetidas hay que mirar si son linealmente independientes.
Criterio de estabilidad de Nyquist
Con este método, sin conocer el sistema, se puede conocer la respuesta de frecuencia. Para determinar la estabilidad de control de un sistema de lazo cerrado, hay que estudiar la respuesta de frecuencia correspondiente al sistema en lazo abierto.
La respuesta de frecuencia es una tabla o un gráfico (diagrama de Nyquist).
Realizamos un ejemplo para comprobar el procedimiento: Estudiar la estabilidad del sistema de lazo cerrado donde G=3/(s^2+2), y H=1/s.
Por definición, la función de transferencia esta dada por:
Luego:
donde hemos tenido que estudiar G*H.
Si la curva rodea al punto -1 (cuando no existe T), la función es inestable. Cuando la función es más pequeña y el valor se queda fuera de la gráfica, la función es estable.
El criterio de Nyquist está basado en el principio del argumento de Cauchy. Este criterio nos dice que dada una función F(s), con variable compleja s, la diferencia entre el numero de 0 y el numero de polos es igual al numero de vueltas que da el vector F(s) alrededor del plano origen por el camino cerrado c. Su expresión es:
Si utilizamos el plano GH, en vez del F, la curva obtenida es la misma, pero se desplaza una unidad hacia la izquierda. De donde tenemos que
donde las n y g son los polinomios numerador y denominador de G(s) y H(s). Por lo que la función nos quedaría:
donde T(s) son los ceros de F(s), y los polos de G(s)H(s) son los polos de F(s). De donde deducimos que:
Margenes de fase y ganancia
Estos representan el máximo numero por el que se puede multiplicar G(s)H(s) antes de volverse inestable. Estos margenes se pueden obtener de los diagramas. Se observa claramente en la siguiente figura.
Estos margenes de fase se obtienen de las grafías como podemos observar en esta imagen que corresponde a un diagrama de Boode.
