8ª Clase 27/03/2013

Resolucion de ejercicios propuestos

c)


d)

Diagrama de bloques del modelo de  estado

Tenemos un vector x(t):

La derivada se obtiene derivando sus componentes:

Aplicando Laplace a x(t):

con condiciones iniciales igual a cero:

obteniendose las siguientes ecuaciones:

donde el punto de suma

es igual a: Y=X1+X2, de donde se deducen la 3ª y 4ª ecucacion. Con lo que asi el diagrama de bloques concuerda con las anteirores ecuaciones:


La formula de Mason es una aplicación de la regla de Kramer para el calculo de determinantes. Es una alternatia a la simplificacion de los diagramas de bloques de forma grafica.

Grafos de flujo de señal

 

Un diagrama de bloques es equivalente a un grafo de flujo de señal. En un diagrama de bloques tenemos los siguientes elementos:

• bloque:

• flecha:

 

• suma:

• bifuración:

En los grafos estos nombres cambin segun el ambito de aplicación:

• vertice (asociado con la flecha y la suma): toma un valor multplicado por la transmitancia. Si en un nodo hay varias flechas se hace la suma ponderada:

• arista (asociado con  el bloque):

• punto de suma:

• punto de bifurcacion (se consigue poniendo una transmitancia unidad):

La formula de Mason viene dada por la siguiente expresion:

en el numerador las distintas "P" son las transmitancias asociadas a los distintos caminos para ir de P a Q. El denominador se obtiene a partir del grafo, que es el determinante de Kramer.
En esta ecuacon influyen dos variables: la trayectatoria ("P") y el ciclo (empiezas y acabas en el mismo nodo), tambien llamado lazo.



En los diagramas de bloques puede haber varias entradas y salidas. Hay que elegir un nodo de entrada y otro de salida, en la salida de cada punto de suma hay una variable, solo se puede pasar una vez por cada punto.

Ejemplo:

 

donde L1 y L2 son los lazos 1 y 2  respectivamente y P1 la trayectoria. Operando:

 

El determinante del grafo se calcula por la formula:

 

el donde el sumatorio de lazos disjuntos son aquellos lazos que  no se tocan. Aplicando esta ecuación:

 

Y sustituyendo en la formula de Mason nos queda:

 

Donde delta 1 es igual a 1 con lo que nos sale el mismo resultado que por el metodo grafico.

Calculo de la respuesta temporal o solucion de la ecuacion temporal

Tenemos la ecuacion diferencial:

donde x(t) es la respuesta temporal. Metodos:

• Modelo interno

donde y(t) es la respuesta temporal

• Modelo externo

 

donde tenemos que y aplicando la transformada inversa de Laplace obtenemos y(t) que es la respuesta temporal. En el modelo externo teemos estos tres metodos:

 

en la integral de convolucion a veces la g(t) se puede conseguir experimentalmente.

Metodo de expansión en racciones simples

Y(s)=G(s)

a) Raices simples

Ejemplo