Respuesta de frecuencia
La respuesta de frecuencia es lo que responde el sistema cuando metemos una entrada u(t), como por ejemplo, si le pegamos una patada a un valón este se moverá.
en este gráfico por U(s) introduciremos la entrada u(t), y por Y(s) obtendríamos la respuesta y(t).
Un caso particular de esta respuesta seria cuando introducimos una entrada en función del seno, u(t)=sin(wt), es decir, que la entrada seria como una sacudida.
Método de expansión en raíces simples
Con este método se trata de averiguar la Y(s). Esta es igual a:
expresándolo de otra manera:
donde,
Método de expansión de raíces múltiples
Este método no es tan fácil como el de raíces simples, pero es similar. La Y(s) se obtiene:
de donde,
Volviendo al diagrama de bloques, donde se le aplica una entrada u(t)=sin(wt), sacamos la transformada inversa de dicha función, es decir:
por lo que la salida Y(s) nos quedaría:
sacamos las raíces del denominador:
puesto que la solución es un numero complejo, la Y(s) nos quedaría:
el primer k seria un numero complejo, mientras que el k con un guión arriba es un numero complejo conjugado. Estas que son desconocidas y se calculan como anteriormente hemos citado usando limites.
Hacemos la siguiente suposición:
G(s) es estable (tiene las raíces en el 3º y 4º cuadrante) si:
por lo que la y(t) nos quedaría:
El primer termino es una identidad matemática, y el segundo tiende a cero ya que un numero elevado a (-algo) tiende a cero. La transformada inversa del primer termino es un seno, de donde obtenemos:
Todo esto quiere decir que si la entrada recibe una sacudida (función sinusoidal), la salida recibirá una sacudida retrasada.
M y O se obtienen mediante el modulo y argumento de G(iw).
En resumen, si la entrada es sinusoidal, la salida es sinusoidal + O, Ysst es un estado estacionario, y las variables anteriores se obtienen mediante el modulo y argumento de G(iw).
El problema se reduce a calcular la M y la O. Hay dos maneras de hacerlo, mediante el método manual, y mediante Matlab.
- Método manual: Se realiza una tabla de valores.
le damos distintos valores a w y así obtenemos M y O.
- Con matlab:
multiplicamos a este conjunto de valores por i (numero complejo)
le sumamos 1 a todos los valores
y finalmente si dividimos 1 entre estos números nos dará un error ya que un solo numero no se puede dividir entre una tabla
generamos un vector de 21 unos
y a continuación divido cada elemento de u por cada elemento de (s+1)
esto seria la G(iw) para w entre 0 y 10 con un intervalo de 0.5. Ahora calculamos el modulo
Calculamos el argumento en radianes
Calculamos el argumento en grados
a continuación hacemos una taba con los valores obtenidos, que como podemos observar coinciden con la tabla de valores que hemos hecho manualmente.
G es una función que se puede representar graficamente en el plano complejo, lo hacemos mediante la función plot
la gráfica que nos ha salido nos debería haber dado una semicircunferencia, por lo que hay que dar mas valores para poder obtenerla. Por lo que repetimos el proceso, pero esta vez en intervalos de 0.005 y ponemos ; para que no nos salga las operaciones en pantalla, ya que sino ocuparía mucho espacio.
y visualizamos la gráfica con plot
En el caso de que nos salgan curvas complejas como
mediante Nyquest se pueden pasar a curvas mas fáciles de medir. Esto se consigue representadolo en graficos en función de w y db (deciberios), en una escala logaritmica. Donde la frecuencia pasa de tomar un valor a otro 10 veces mayor. Sobre la escala de log w las marcas son de w.
A partir de funciones G(s) es fácil representar estas funciones para poderlas estudiar facilmente. Por ejemplo, para sacar la raíces de la siguiente función:
mediante matlab sacamos los coeficientes:
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