7ª Clase 20/03/2013

Sistemas lineales

Existen dos métodos para resolver estos sistemas, interno y externo. En ambos modelos partimos de una ecuación diferencial. En el modelo externo aplicamos Laplace a esta ecuación para conseguir hallar el polinomio característico, mientras que en el modelo interno realizamos un cambio de variable para llegar al modelo de estado.

                                        

Polinomio característico

Partimos de x(t):

 

Aplicamos Laplace tanto a x(t) como a x'(t) y teniendo en cuenta las condiciones iniciales igual a cero:

                       

que es equivalente a:

 

y aplicando Laplace:

 

de la primera obtenemos:

 

y sustituyendo en la segunda obtenemos la función de transferencia:

Ahora realizamos un ejemplo con matlab:

declaramos las variables e introducimos las matrices

 

para obtener la matriz de transferencia:

 

donde Ach es la matriz característica.

 

hemos calculado el determinante de la matriz característica, que nos sale un polinomio, y por último la matriz adjunta.

Diagrama de bloques

En los diagramas de bloques hay dos métodos de representación:

• Y(s)=G(s)*U(s)         , donde Y(s) es la salida y U(s) es la entrada. Este es una forma matemática de representación.
• Esta forma es un gráfico que nos permite acercarnos a los sistemas físicos.

Los diagramas de bloques están compuestos por:

• bloque:

• flecha: , que es la variable o señal.

• punto de suma:.

• punto de bifurcacion:.

Estos sistemas pueden llegar a ser complejos por lo que existen dos maneras de simplificarlos. Por muy complejo que sea, siempre es posible reducirlo a un solo bloque. El primer método de simplificación es mediante la formula de la ganancia de Mason, y la segunda gráfica, esta es una tabla que nos sirve de gran ayuda:
Ahora hemos demostrado alguna de estas simplificaciones:

• Sumatorio de bloques en serie:

1. Con escalares:

 
    2. Con matrices:


Con lo que hemos comprovado que esta propiedad no se cumple para las matrices ya que en nuestro caso es G2G1 y la norma indica G1G2.

• Simplificación cuando hay rectificación:

Y=G*X
X=U*Z
Z=H*Y
 donde hemos llamado Z a la izquierda del bloque H, y X a la izquierda de bloque G. Sustituyendo obtenemos que
Y=G*U/(1+GH)

Ejercicios

a)

En este caso en la formula queda un signo (-) ya que en el comparador no existe este signo, por lo que es como si consideramos -G2.
b)

para finalizar habría que operar ya que cada una (por ejemplo G)  es una función.