Sistemas lineales
Existen dos métodos para resolver estos sistemas, interno y externo. En ambos modelos partimos de una ecuación diferencial. En el modelo externo aplicamos Laplace a esta ecuación para conseguir hallar el polinomio característico, mientras que en el modelo interno realizamos un cambio de variable para llegar al modelo de estado.
Polinomio característico
Partimos de x(t):
Aplicamos Laplace tanto a x(t) como a x'(t) y teniendo en cuenta las condiciones iniciales igual a cero:
que es equivalente a:
y aplicando Laplace:
de la primera obtenemos:
y sustituyendo en la segunda obtenemos la función de transferencia:
Ahora realizamos un ejemplo con matlab:
declaramos las variables e introducimos las matrices
para obtener la matriz de transferencia:
donde Ach es la matriz característica.
hemos calculado el determinante de la matriz característica, que nos sale un polinomio, y por último la matriz adjunta.
Diagrama de bloques
En los diagramas de bloques hay dos métodos de representación:
- Y(s)=G(s)*U(s) , donde Y(s) es la salida y U(s) es la entrada. Este es una forma matemática de representación.
Esta forma es un gráfico que nos permite acercarnos a los sistemas físicos.
- bloque:
- flecha:
, que es la variable o señal.
- punto de suma:
.
- punto de bifurcacion:
.
Ahora hemos demostrado alguna de estas simplificaciones:- Sumatorio de bloques en serie:
- Con escalares:
2. Con matrices:
Con lo que hemos comprovado que esta propiedad no se cumple para las matrices ya que en nuestro caso es G2G1 y la norma indica G1G2.
- Simplificación cuando hay rectificación:
X=U*Z
Z=H*Y
donde hemos llamado Z a la izquierda del bloque H, y X a la izquierda de bloque G. Sustituyendo obtenemos que
Y=G*U/(1+GH)
Ejercicios
a)
En este caso en la formula queda un signo (-) ya que en el comparador no existe este signo, por lo que es como si consideramos -G2.
b)
para finalizar habría que operar ya que cada una (por ejemplo G) es una función.
