4ªclase (27/02/2013)

Hoy hemos comenzado demostrando una de las propiedades de Laplace,la derivación:

Que es una propiedad de la existencia de Laplace. A ontinuación hemos empezado a ver los sistemas lineales cuyo modelo es una ecuación diferencial lineal. Existen dos tipos de sistemas:

• Modelo externo: este modelo esta basado en lo que hemos visto hasta la fecha, es decir, pasar de la ecuación diferencial a la función de tansferencia utilizando Laplace. Este modelo está caracterizado por:

                        - Modelo de entrada-salida.

 

                       - Herramienta: transformada de Laplace.

          Un ejemplo de modelo externo es la resolución de una ecuación diferencial utilizando la tansformada de Laplace tal como hicimos el día anterior para obtener el polinomio característico G(s)

• Modelo interno: en el que pasamos de una ecuación diferencial a sistemas lineales(modelo de estado) aplicando cambios. Este método esta caracterizado por.

                      - Álgebra lineal

                      - Calculo mediante ordenaor

                      - Sistema multivariable 

       Donde se tiene por ecuación:

  

y tras los cambios pertinentes llegamos al modelo de estado:

Una ecuación diferencial de orden n, en forma explicita (derivada de orden máximo despejada) es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. 

Ejemplo:

• x(t)=b*e^(a*t)
• X(t)=B*e^(A*t) esta se trata de una exponencial matricial, donde el polinomio característico de la matriz A es el denominador de G(s).

Para terminar la clase de hoy se nos ha propuesto un par de ejercicios:

1. Se trata de un circuito eléctrico de corriente continua compuesto por una resistencia y un condensador en serie. Se pide hallar la caída de tensión en el condensador v(t) mediante modelo externo e interno dados los valores de la tensión inicial, la resistencia y la capacidad del condensador.
2. Tenemos un cuerpo sobre un plano horizontal sujeto a una pared vertical mediante un muelle y un amortiguador. De dicho cuerpo tira una fuerza u hacia la derecha. Se pide dado los valores de la constante k del muelle, b del amortiguador, la masa del cuerpo y las condiciones iniciales hallar el desplazamiento del cuerpo x(t) mediante modelo externo e interno.